En théorie des probabilités, l’ensemble des éventualités \(\Omega\) est appelé l’ensemble fondamental. En général, on ne le décrit pas. Cet ensemble est muni d’une tribu \({\cal A}\) contenant sous-ensembles de \(\Omega\) appelés événements.
Soit \((\Omega, {\cal A})\) un ensemble fondamental muni d’une tribu. On appelle mesure de probabilité une application, P, de \({\cal A}\) dans \([0,1]\) telle que
P\((\Omega) = 1\)
Pour toute suite \((A_i)\) d’événements mutuellement exclusifs (\(A_i \cap A_j = \emptyset\), pour \(i \neq j\))
\[ {\rm P}( \bigcup_{i \geq 1} A_i ) = \sum_{i \geq 1} {\rm P}(A_i) \, . \]
Soit une suite \((A_n)\) d’événements décroissants, tels que \(A_n \subset A_{n-1}\) \(\subset \dots\) \(\subset A_1\). Nous avons
\[ {\rm P}( \bigcap_{n \geq 1} A_n ) = \lim_{n \to \infty} {\rm P}(A_n) \, . \]
Soit \(B\) un événement de probabilité P\((B) > 0\). On note P\((A|B)\) la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\)
\[ {\rm P}(A~|~B) = \frac{ {\rm P}(A \cap B) }{ {\rm P}(B) } \, . \]
On dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants si
\[ {\rm P}(A~|~B) = {\rm P}(A) \, . \]
Soit \((B_i)\) une suite d’événements disjoints formant une partition de \(\Omega\). Nous avons \[ {\rm P} (A) = \sum_{i \geq 1} {\rm P}( A ~|~ B_i) \, {\rm P}(B_i) \, . \]
On repète une épreuve jusqu’à ce qu’une condition \(C\) soit réalisée. La probabilité d’observer \(A\) à l’issue de l’épreuve finale est \[ {\rm P}_C (A)= P(A ~|~C) \, . \]