Lors d’une suite infinie d’épreuves identiques et indépendantes, on s’intéresse à l’instant, \(X\), de première occurrence d’un événement de probabilité \(p\).
\[ {\rm P}(X = i) = (1 - p)^{i - 1} \, p\, , \quad i \geq 1 \, . \]
\[ {\rm E}[X] = \sum_{i = 1}^{\infty} i \, {\rm P}(X = i) = \frac 1p \, . \]
Lors d’une suite finie comportant \(n\) épreuves identiques et indépendantes, on s’intéresse au nombre d’occurrences, \(N\), d’un événement de probabilité \(p\).
\[ {\rm P}(N = i) = \frac{n!}{i! (n-i)!} \, p^i \, (1 - p)^{n-i} \, , \quad i = 1 , \dots, n \, . \]
\[ {\rm E}[N] = \sum_{i = 1}^{n} i \, {\rm P}(N = i) = n p \, . \]