Variables aléatoires de loi continue (et autres lois)

Loi d’une variable aléatoire

La loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}\) est caractérisée par la fonction de répartition \[ F(t) = {\rm P}(X \leq t) \, , \quad t \in \mathbb{R} \, . \]

La fonction de répartition est croissante de 0 à 1. On dit que la loi est continue si la fonction de répartition est continue sur \(\mathbb{R}\).

Densité de probabilité

On dit que la loi de la variable aléatoire \(X\) admet la densité \(f(x)\) si \(f(x)\) est une fonction positive d’intégrale totale égale à 1 et telle que : \[ \forall t \in \mathbb{R}, \quad F(t) = \int_{-\infty}^t f(x) dx. \]

Espérance : Théorème de transfert

Soit \(X\) est une variable aléatoire de loi de densité \(f(x)\), telle que la variable \(Z = \varphi(X)\) est positive ou intégrable.

  • Théorème de transfert \[ \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[\varphi(X)] = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) f(x) dx \]

  • Supposons \(X\) positive ou intégrable, nous avons

\[ \mathbb{E}[X] = \int_{\mathbb{R}} x f(x) dx \]

  • Si \(X\) est positive, nous avons

\[ \mathbb{E}[X] = \int_0^{\infty} {\rm P}(X > t) dt \,. \]

Loi normale centrée réduite, \(N(0,1)\)
  • La loi normale \(N(0,1)\) admet pour densité \[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(- x^2/2) \, . \]
Loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\)
  • La loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) admet pour densité \[ \forall x \in \mathbb{R} , \quad f(x) = \lambda \exp(- \lambda x) \mathbb{1}_{\mathbb{R}_+}(x) \, . \]