Cours 6

Définitions

On définit la variance de $X$ par $${\rm Var}[X] = \mathbb{E}[( X - \mathbb{E}[X])^2] \, ,$$ et la covariance de $X$ et $Y$ par

$${\rm Cov}[X,Y] = \mathbb{E}[ ( X - \mathbb{E}[X] )( Y - \mathbb{E}[Y] ) ] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y] \, .$$

Variance d’une somme

Nous avons

$${\rm Var}[X + Y] = {\rm Var}[X] + {\rm Var}[Y] + 2{\rm Cov}[X,Y]$$

Indépendance

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors Cov$[X,Y] = 0$.

Inégalité de Chebyshev

Soit $\epsilon >0$. $${\rm P}( |X - {\rm E}[X]| > \epsilon ) \leq \frac{ {\rm Var}[X]}{\epsilon^2}.$$

Loi des grands nombres

Soient $X_1, X_2, ...$ sont des variables indépendantes et de même loi, alors $${\rm P}( | \frac{1}n \sum_i^n X_i - {\rm E}[X]| > \epsilon ) \to 0.$$