Variance et covariance

Toutes les variables considérées sont de carré intégrable.

Définitions

On définit la variance de \(X\) par \[ {\rm Var}[X] = \mathbb{E}[( X - \mathbb{E}[X])^2] \, , \] et la covariance de \(X\) et \(Y\) par

\[ {\rm Cov}[X,Y] = \mathbb{E}[ ( X - \mathbb{E}[X] )( Y - \mathbb{E}[Y] ) ] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y] \, . \]

Variance d’une somme

Nous avons

\[ {\rm Var}[X + Y] = {\rm Var}[X] + {\rm Var}[Y] + 2{\rm Cov}[X,Y] \]

Indépendance

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors Cov\([X,Y] = 0\).

Inégalité de Chebyshev

Soit \(\epsilon >0\). \[ {\rm P}( |X - {\rm E}[X]| > \epsilon ) \leq \frac{ {\rm Var}[X]}{\epsilon^2}. \]

Loi des grands nombres

Soient \(X_1, X_2, ...\) sont des variables indépendantes et de même loi, alors \[ {\rm P}( | \frac{1}n \sum_i^n X_i - {\rm E}[X]| > \epsilon ) \to 0. \]