Couples de variables aléatoires

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles.

Densité de probabilité

Soit \(f(x,y)\) une fonction positive dont l’intégrale sur \(\mathbb{R}^2\) est égale à 1. On dit que la loi de probabilité du couple \((X,Y)\) admet \(f(x,y)\) pour densité si

\[ \forall D \subset \mathbb{R}^2 , \quad {\rm P}( (X,Y) \in D ) = \int_D f(x,y) dxdy . \]


Loi marginale de la variable \(X\)

La loi de la variable \(X\) admet pour densité

\[ f_X(x) = \int f(x,y) dy . \]


Loi conditionnelle de la variable \(Y\) sachant \(X=x\)

Soit \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(f_X(x) >0\). La loi conditionnelle de la variable \(Y\) sachant \(X = x\) admet pour densité

\[ f_Y^{X=x} (y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} . \]


Simulation d’un couple de variable de loi de densité \(f(x,y)\)

Pour simuler \((X,Y)\) de densité \(f(x,y)\), la méthode de simulation consiste à revenir à la simulation de variables unidimensionnelles

  • Simuler \(X\) de loi de densité \(f_X(x)\)

  • Sachant \(X=x\), simuler \(Y\) de loi de densité \(f_Y^{X=x} (y)\)