Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires réelles de densité \(f(x,y)\).
L’espérance conditionnelle de Y sachant \(X=x\) est l’espérance de la loi de densité \(f_Y^{X=x} (y)\). Elle définit une fonction de la variable \(x\)
\[ {\rm E}[Y|X=x] = \varphi(x) = \int y f_Y^{X=x} (y) dy. \]
L’espérance conditionnelle de Y sachant \(X\) est la variable aléatoire
\[ {\rm E}[Y|X] = \varphi(X) \, . \]
Nous avons
\[ {\rm E}[Y] = {\rm E}[ {\rm E}[Y|X] ] = \int {\rm E}[Y|X=x] f_X(x) dx . \]