Exercice 1

Un jeu nécessite le lancer d’un dé équilibré à 19 faces. Pour jouer à ce jeu, on dispose uniquement d’un dé à six faces que l’on peut lancer un nombre arbitraire de fois. On définit le coût du jeu comme le nombre moyen de lancers du dé à six faces permettant d’obtenir une réalisation de loi uniforme sur l’ensemble \(\{1,\dots,19 \}\).

Rappel : Théorème de la division euclidienne pour les entiers naturels. Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels tels que \(b\) est non nul. Il existe un unique couple d’entiers naturels \((q, r)\) satisfaisant \(a = bq + r\) et \(r<b\).

Question 1

Soit \(x\) un entier compris entre 1 et 36. Montrer qu’il existe un unique couple \((q^\star, r^\star) \in \{1,\dots,6\}^2\) satisfaisant \[ x = 6 (q^\star - 1) + r^\star\, . \] Indication : Diviser \((x-1)\) par 6.

Question 2

On note \(N_1\) et \(N_2\) les résultats obtenus suivant deux lancers indépendants du dé à 6 faces.

  • Montrer que la variable \(X = 6(N_1 - 1) + N_2\) suit la loi uniforme sur l’ensemble \(\{1,\dots,36 \}\).

  • Proposer une procédure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dé à 19 faces à partir du résultat précédent. Déterminer le coût du jeu ?

de.6 <- function(n) sample(1:6, n, replace = T)
de.36 <- function(n) 6*(de.6(n)-1) + de.6(n)
de.19 <- function(n){
  d <- NULL
  for (i in 1:n){
    while ((x <- de.36(1)) > 19){}
    d <- c(x, d)  
  }
  return(d)
}
n = 100000

# Temps de calcul 
system.time(x.19 <- de.19(n))
##    user  system elapsed 
##  28.852   1.027  29.972
# Histogramme des résultats
plot(table(x.19))

Question 3

  • Proposer des fonctions permettant de simuler le lancer de dés à 4,5,10 ou 20 faces à partir du dé à six faces. Déterminer le nombre moyen de lancers du dé à six faces dans chacune de ces procédures.

  • Proposer une procédure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dé à 19 faces à partir d’un dé à 20 faces. Quel est le coût du jeu dans la procédure proposée ?

  • Peut on trouver une procédure de coût moindre ?