On joue à pile (P) ou face (F) avec une pièce équilibrée \(n\) fois de suite. On définit \(X_n\) comme le nombre de fois où l’on obtient le motif FF (compté avec les recouvrements). Par exemple, dans la réalisation suivante,
FFPFPFFFPFFPF
nous avons \(n = 13\) et \(X_n = 4\). En effet, le motif FFF contribue deux fois au nombre total. Pour \(i = 1, \dots, n\), on note FF\(_i\) l’événement “le motif FF apparaît à l’issue du lancer \(i\)”.
Décrire \(X_n\) comme une variable étagée.
En déduire la valeur de l’espérance E[\(X_n\)].
Justifier que la loi de \(X_n\) n’est pas la loi binomiale.
Soit \((f_n)\) la suite de Fibonacci définie par \(f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\), \(n\geq 4\), et initialisée par \(f_2 = 3\) et \(f_3 = 5\)
\[{\rm P}( X_n = 0 ) = f_n/2^n ,\quad n \geq 2 \]
Indication : On appliquera la formule des probabilités totales deux fois de suite (en prenant pour mesure de référence une mesure de probabilité conditionnelle).