Rappeler la définition d’une variable aléatoire étagée.
Rappeler la définition d’une variable aléatoire de carré intégrable et de la variance d’une telle variable aléatoire.
On considère \(K\) intervalles ouverts \((I_k)_{k=1,\dots,K}\) inclus dans l’ensemble \((0,1)\), susceptibles de se recouvrir de manière arbitraire. Pour tout \(k=1,\dots,K\), on note \(\ell_k\) la longueur de l’intervalle \(I_k\).
Soit \(U\) un point de l’intervalle \((0,1)\) tiré au hasard suivant la loi uniforme et \(N\) le nombre d’intervalles contenant le point \(U\).
On suppose dans les premières questions que \(K=10\) et que \(\ell_k = 1/10\) pour tout \(k=1,\dots,10\).
Donner une représentation graphique des \(10\) intervalles, ainsi qu’une réalisation de la variable \(U\) et de la variable \(N\) correspondante.
Représenter 2 situations extrêmes dans lesquelles les 10 intervalles sont soit d’intersection vide, soit d’intersection compl?te. Dans chacun des 2 cas, décrire la loi de la variable \(N\). Donner son espérance et sa variance.
Montrer que l’on peut écrire \(N\) comme une variable étagée \[ N = \sum_{k = 1}^K \mathbb{1}_{A_k} \, , \] où l’on précisera la définition des événements \((A_k)\) intervenant dans la somme.
La loi de la variable \(N\) est-elle une loi binomiale ?
Calculer l’espérance de la variable \(N\).
\[ {\rm Var}(N) = 2\sum_{j<k} {\rm longueur}(I_j \cap I_k). \]
On suppose maintenant que \(K\) est quelconque et que les longueurs \(\ell_k\) sont identiques.
Calculer \(\mathbb{E}[N]\) et donner une borne supérieure optimale pour la variance de \(N\).
Généraliser l’exercice à la dimension 2, où l’intervalle \((0,1)\) est remplacé par le disque unité, et les intervalles \((I_k)\) sont remplacés par des disques de rayons \((r_k)\).