Le formulaire de réponse Formulaire-Test-0-Prénom-Nom.md à compléter et à déposer dans TEIDE.

Problème 1

Eva et Raph jouent aux dés (supposés équilibrés). Eva lance un dé à six faces alors que Raph lance un dé à sept faces. Eva et Raph lancent les dés en même temps. On note \(N\) le rang d’apparition du premier 1 chez Eva ou chez Raph.

Question 1
  • Soit \(N_E\) le rang d’apparition du premier 1 chez Eva. Déterminer la probabilité de l’événement \((N_E > k)\), pour tout \(k \geq 1\). Quelle est la loi de \(N_E\) ?
Question 2
  • Calculer la probabilité de l’événement \((N > k)\), pour tout \(k \geq 1\). Quelle est la loi de \(N\) ?
Question 3
  • Le premier 1 gagne la partie. Quelle est la probabilité pour que Eva gagne ?
Question 4
  • Quelle est la probabilité de match nul ?
Question 5
  • Calculer la probabilité que la partie a duré moins de 3 manches sachant qu’Eva a gagné.

Problème 2

On dit que \(U\) est une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [0,1] si \[ \forall 0 \leq a \leq b \leq 1 \, , \quad \mbox{P} ( U \in [a,b)) = b-a . \] Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle [0,1]. On définit la variable \(W\) de la manière suivante. Si \(U < 1/4\), \(W\) est égale à \(V\), sinon \(W\) est égale à \(\sqrt{V}\) .

Question 1
  • Calculer la probabilité que la variable aléatoire \(W\) soit inférieure ou égale à \(1/3\).
Question 2
  • Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(W^2\).

Problème 3

Soit \(X\) une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1). Soit \(Y\) une variable aléatoire dont la loi conditionnelle sachant \(X = x\) est la loi uniforme sur \((0, x)\). On pose \(Z = X + Y\).

Question 1
  • Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(Z\).