Le formulaire de réponse Formulaire-Test-1-Prénom-Nom.Rmd à compléter et à déposer dans TEIDE.

Problème 1

Un examen comporte 10 épreuves indépendantes. Pour réussir, un candidat doit valider toutes les épreuves. Pour chaque épreuve, on suppose que la probabilité d’échec de ce candidat est \(q = 0.02\).

On suppose que \(n = 240\) candidats, ayant des probabilités d’échec identiques au candidat précédent, se présentent indépendamment les uns des autres à l’examen.

Question 1
  • Déterminer l’espérance du nombre de candidats réussissant l’examen.

Problème 2

On lance 2 dés équilibrés à \(n = 4\) faces, numérotés \(N_1\) et \(N_2\), jusqu’à ce que la condition \((N_1 \leq N_2)\) soit réalisée. On note \(N\) la réalisation de la variable \(N_2\) à l’issue de cette expérience.

Question 2
  • Calculer les probabilités P(\(N = i\)), pour tout \(i\) de 1 à 4.

Problème 3

Dans un célébre jeu télévisé états-unien (Let’s Make a Deal), un candidat se trouvait face à trois portes closes. Derrière l’une des trois portes (que nous appellerons la bonne porte) se trouvait un cadeau. Le candidat désignait l’une des trois portes.

Le présentateur ouvrait alors devant le candidat l’une des 2 portes non-désignées qu’il savait conduire au vide, et posait la question suivante : souhaitez vous changer de porte ?

On note \(G\) l’événement “le candidat ouvre finalement la bonne porte et gagne le jeu”.

Question 3
  • Calculer la probabilité de l’événement \(G\) sachant que le candidat change de porte. Calculer la probabilité de l’événement \(G\) sachant que le candidat conserve son choix initial.
Question 4
  • Le candidat opte a priori pour une stratégie aléatoire. Il change de porte avec la probabilité \(p = 1/3\). Puis il joue et gagne le jeu. Quelle est la probabilité que le candidat ait changé de porte ?

Problème 4

On joue à un jeu dans lequel on tire d’abord une variable aléatoire \(U\) de loi uniforme sur \((0,1)\). Indépendamment du premier tirage, on tire une variable \(N\) telle que P(\(N=1\)) = \(1/2\), P(\(N=2\)) = \(1/3\) et P(\(N=3\)) = \(1/6\). Le gain à l’issue de ce jeu est égal à la variable al?atoire \(X = N\times U\).

u <- runif(1)
n <- sample(1:3, 1, prob = c(3,2,1))
x <- u*n
Question 5
  • Calculer la valeur médiane de la variable \(X\).

Problème 5

Soient \(X_1, X_2,\dots\) des variables indépendantes, positives, de même loi de probabilité, caractérisée par \[ \forall t > 0 , \quad {\rm P} (X > t) = \exp(- \mu t), \quad \mu > 0 \, . \]

\[ \forall t > 0 , \quad {\rm P} (Z_n > t) = \exp(- n \mu t), \quad n \geq 1. \]

Par convention, on pose \(Z_0 = 0\). Soit \(N\) une variable de loi de Poisson de paramètre \(\lambda = 1\) indépendante des \((X_i)\).

Question 6
  • Calculer la probabilité de l’événement \((Z_N > 1)\)

Problème 6

Soit \(p \in (0,1)\) (\(q = 1 -p\)) et \(n\) un entier naturel non nul. On considère \(n=20\) archers visant une cible, chaque archers pouvant effectuer deux tirs de flèche. A chaque tir, chaque tireur atteint la cible avec la probabilité \(p=2/3\). Les tirs sont indépendants les uns des autres.

On définit la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier tir. On définit la variable aléatoire \(Z\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier ou au second tir.

Question 7
  • Déterminer la loi de la variable \(Z\). Donner son espérance.

On définit la variable aléatoire \(Y\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au second tir après l’avoir ratée au premier tir.

  • Exprimer la relation mathématique liant la variable \(Y\) aux variables \(Z\) et \(X\).
Question 8
  • Déterminer la loi de la variable \(Y\). Donner son espérance.

Soit \(k\) un entier compris entre \(0\) et \(n\).

  • Pour tout \(\ell = 0, \dots,n - k\), donner (sans calcul) la probabilité conditionnelle \[ \pi_{k,\ell} = {\rm P} ( Y = \ell | X = k ) \, . \]

  • Donner l’espérance de la loi conditionnelle de la variable \(Y\) sachant \(X=k\), \(k = 0, \dots,n\).

Question 9
  • Donner une relation simple liant \({\rm E}[XY]\) à l’espérance d’une fonction simple de \(X\) et la valeur de cette espérance (une ligne).
Question 10
  • Calculer la variance de la variable aléatoire \(Z\). En déduire la covariance du couple \((X,Y)\) et retrouver le résultat précédent (une ligne).