Le formulaire de réponse Formulaire-Test-2-Prénom-Nom.Rmd à compléter et à déposer dans TEIDE.
Soient \(X_1 , \dots , X_n\) \(n\) variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition continue sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(1\leq m \leq n\), on dit qu’un record est battu à l’épreuve \(m\) si \(m = 1\) ou si
\[ X_m > \max_{i < m} X_i \]
Soit \(N\) le nombre de records battus après \(n\) épreuves.
Ecrire la variable aléatoire \(N\) comme une variable étagée.
Donner l’espérance de \(N\) pour \(n\) quelconque.
Donner l’espérance de \(N\) pour \(n = 27\).
Soit \(n \geq 2\) et \((U_i)_{i=1,\dots, n}\), une suite finie de variables indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\). Pour tout \(i = 1, \dots, n - 1\), on pose \[ X_i = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & {\rm si ~} U_i < U_{i+1} \\ 0 & {\rm sinon.} \\ \end{array} \right. \] et on définit le nombre de pas croissants dans la suite \((U_i)\) par la formule suivante \[ Y_n = \sum_{i = 1}^{n-1} X_i \, . \]
Démontrer que \({\rm P}(U_1 < U_2) = 1/2\) et que \({\rm P}(U_1 < U_2 < U_3) = 1/6\).
Calculer \({\rm E}[Y_n]\).
Calculer \({\rm Var}[X_1]\) et \({\rm Cov}[X_1, X_2]\).
Calculer la valeur de la variance Var\([Y_3]\).
Pour tout \(n \geq 2\), montrer que \[ {\rm Var}[Y_n] = \sum_{i = 1}^{n-1} {\rm Var}[X_i] + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} {\rm Cov}[X_i, X_{i+1}]. \]
Calculer Var\([Y_n]\) pour tout \(n \geq 2\).
Dans la suite finie \((U_i)_{i=1,\dots,n}\), on note
\[ A_{n-1} = \frac{Y_n }{ n-1}\]
le nombre moyen d’accroissements.
On considère un couple \((X,Y)\) de variables aléatoires de densité jointe
\[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, , \quad f(x,y) = c xy^2 \mathbb{1}_D (x,y) \, , \]
où \(c\) est une constante positive et \(D\) = \(\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; ; \; 0 < x < y < 1\}\) .