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Le formulaire de réponse Formulaire-Test-2-Prénom-Nom.Rmd à compléter et à déposer dans TEIDE.


Problème 1

Soient X1,,Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition continue sur R. Pour tout 1mn, on dit qu’un record est battu à l’épreuve m si m=1 ou si

Xm>max


Question 1
  • Calculer la probabilité de battre un record à l’épreuve m

Question 2

Soit N le nombre de records battus après n épreuves.

  • Ecrire la variable aléatoire N comme une variable étagée.

  • Donner l’espérance de N pour n quelconque.

  • Donner l’espérance de N pour n = 27.


Problème 2

Soit n \geq 2 et (U_i)_{i=1,\dots, n}, une suite finie de variables indépendantes de loi uniforme sur (0,1). Pour tout i = 1, \dots, n - 1, on pose X_i = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & {\rm si ~} U_i < U_{i+1} \\ 0 & {\rm sinon.} \\ \end{array} \right. et on définit le nombre de pas croissants dans la suite (U_i) par la formule suivante Y_n = \sum_{i = 1}^{n-1} X_i \, .


Question 3
  • Démontrer que {\rm P}(U_1 < U_2) = 1/2 et que {\rm P}(U_1 < U_2 < U_3) = 1/6.

  • Calculer {\rm E}[Y_n].


Question 4
  • Calculer {\rm Var}[X_1] et {\rm Cov}[X_1, X_2].

  • Calculer la valeur de la variance Var[Y_3].


Question 5
  • Pour tout n \geq 2, montrer que {\rm Var}[Y_n] = \sum_{i = 1}^{n-1} {\rm Var}[X_i] + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} {\rm Cov}[X_i, X_{i+1}].

  • Calculer Var[Y_n] pour tout n \geq 2.


Question 6

Dans la suite finie (U_i)_{i=1,\dots,n}, on note

A_{n-1} = \frac{Y_n }{ n-1}

le nombre moyen d’accroissements.

  • Combien de tirages suffisent pour qu’avec une probabilité supérieure à 0.99, A_{n-1} soit proche de la valeur 1/2 à 10^{-2} près.

Problème 3

On considère un couple (X,Y) de variables aléatoires de densité jointe

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, , \quad f(x,y) = c xy^2 \mathbb{1}_D (x,y) \, ,

c est une constante positive et D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; ; \; 0 < x < y < 1\} .


Question 7
  • Déterminer la valeur de c.

Question 8
  • Déterminer la fonction de répartition de la variable Y. Donner sa valeur au point t = 2/3.

Question 9
  • Ecrire un algorithme de simulation d’un couple de densité f(x,y).

Question 10
  • On pose Z = X Y. Déterminer la densité de la loi de la variable Z.