Le formulaire de réponse Formulaire-Test-2-Prénom-Nom.md à compléter et à déposer dans TEIDE.


Problème 1

Soient \(X_1 , \dots , X_n\) \(n\) variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition continue sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(1\leq m \leq n\), on dit qu’un record est battu à l’épreuve \(m\) si \(m = 1\) ou si

\[ X_m > \max_{i < m} X_i \]


Question 1
  • Calculer la probabilité de battre un record à l’épreuve \(m\)

Question 2

Soit \(N\) le nombre de records battus après \(n\) épreuves.

  • Ecrire la variable aléatoire \(N\) comme une variable étagée.

  • Donner l’espérance de \(N\) pour \(n\) quelconque.

  • Donner l’espérance de \(N\) pour \(n = 27\).


Problème 2

Soit \(n \geq 2\) et \((U_i)_{i=1,\dots, n}\), une suite finie de variables indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\). Pour tout \(i = 1, \dots, n - 1\), on pose \[ X_i = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & {\rm si ~} U_i < U_{i+1} \\ 0 & {\rm sinon.} \\ \end{array} \right. \] et on définit le nombre de pas croissants dans la suite \((U_i)\) par la formule suivante \[ Y_n = \sum_{i = 1}^{n-1} X_i \, . \]


Question 3
  • Démontrer que \({\rm P}(U_1 < U_2) = 1/2\) et que \({\rm P}(U_1 < U_2 < U_3) = 1/6\).

  • Calculer \({\rm E}[Y_n]\).


Question 4
  • Calculer \({\rm Var}[X_1]\) et \({\rm Cov}[X_1, X_2]\).

  • Calculer la valeur de la variance Var\([Y_3]\).


Question 5
  • Pour tout \(n \geq 2\), montrer que \[ {\rm Var}[X] = \sum_{i = 1}^{n-1} {\rm Var}[X_i] + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} {\rm Cov}[X_i, X_{i+1}]. \]

  • Calculer Var\([Y_n]\) pour tout \(n \geq 2\).


Question 6

Dans la suite finie \((U_i)_{i=1,\dots,n}\), on note

\[ A_{n-1} = \frac{Y_n }{ n-1}\]

le nombre moyen d’accroissements.

  • Combien de tirages suffisent pour qu’avec une probabilité supérieure à 0.99, \(A_{n-1}\) soit proche de la valeur 1/2 à \(10^{-2}\) près.

Problème 3

On considère un couple \((X,Y)\) de variables aléatoires de densité jointe

\[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, , \quad f(x,y) = c xy^2 \mathbb{1}_D (x,y) \, , \]

\(c\) est une constante positive et \(D\) = \(\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; ; \; 0 < x < y < 1\}\) .


Question 7
  • Déterminer la valeur de \(c\).

Question 8
  • Déterminer la fonction de répartition de la variable \(Y\). Donner sa valeur au point \(t = 2/3\).

Question 9
  • Ecrire un algorithme de simulation d’un couple de densité \(f(x,y)\).

Question 10
  • On pose \(Z = X Y\). Déterminer la densité de la loi de la variable \(Z\).