On note \(\mathbb{1}_A\) la variable aléatoire égale à 1 si \(A\) se réalise, 0 sinon.
\[ \mathbb{E}[\mathbb{1}_A] = {\rm P}(A). \]
Soit \(\alpha_1, \dots ,\alpha_n\), \(n\) coefficients positifs et \(A_1, \dots , A_n\), \(n\) événements. On appelle variable étagée, la variable
\[ X = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \, \mathbb{1}_{A_i} \, . \]
\[ \mathbb{E}[X] = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \, {\rm P}(A_i). \]
\[ \mathbb{E}[X] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n]. \]
\[ \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\max(0,X)] - \mathbb{E}[ -\min(0,X)] \,. \]
Soit \(B\) un événement de probabilité non-nulle. L’espérance conditionnelle de la variable \(X\) sachant \(B\), est l’espérance prise par rapport à la mesure de probabilité conditionnelle P(\(A|B\))
\[ \mathbb{E}[X|B] = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \, {\rm P}(A_i|B). \]
Soit \(X_n\) une suite de variables positives qui converge en croissant vers \(X\).
\[ \mathbb{E}[\lim_{n \to \infty} X_n] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] \, . \]