Une variable aléatoire de loi discrète est une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable, typiquement tout ou une partie de l’ensemble des entiers naturels, \(\mathbb{N}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\). La loi de \(X\) est caractérisée par la donnée \[ {\rm P}(X = n) = p_n \, , \quad n \geq 0. \]
Soit \(\lambda >0\). La loi de Poisson est caractérisée par
\[
{\rm P}(X = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} \, , \quad n \geq 0.
\]
Nous avons \[ \mathbb{E}[X] = \lambda \, . \]
Soit \(\varphi\) une application (mesurable) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) telle que \(\mathbb{E}[|\varphi(X)|] < \infty\).
Le théorème de transfert s’énonce ainsi \[ \mathbb{E}[\varphi(X)] = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi(n) \, p_n \]
En particulier, nous avons \[ \mathbb{E}[X] = \sum_{n=0}^{\infty} n \, p_n \]
De plus, nous avons \[ \mathbb{E}[X] = \sum_{n=0}^{\infty} {\rm P}(X > n) \]
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète et \(Y\) une seconde variable aléatoire discrète. Pour tout entier naturel \(k\) tel que P\((X=k)>0\), l’espérance conditionnelle \({\rm E}[Y|X = k]\) est définie comme étant l’espérance calculée par rapport à la mesure de probabilité P(\(.|X=k\)).
\[ {\rm E}[Y] = {\rm E}[ {\rm E}[Y | X] ] = \sum_{k=0}^{\infty} {\rm E}[Y|X = k] {\rm P}(X = k) \]