Séance de travaux dirigés 1 - Première partie

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Questions de cours

• Rappeler la définition d’une mesure de probabilité.

• Rappeler la définition d’une suite croissante d’événements.

• Soit \((A_n)\) une telle suite. Que peut-on dire de la suite des probabilités P\((A_n)\) ?

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Exercice 1

Question 1

Soit \(X\) un nombre positif mesuré à l’issue d’une épreuve aléatoire. On suppose que \[ \forall 0 \leq s \leq t < \infty \, , \quad \mbox{P} ( X \in [s,t)) = \int_s^t e^{-x} dx. \]

• Pour tout \(t \geq 0\), montrer que P\((X \geq t) =e^{- t}\).

• Calculer P\((\sin X \geq 0)\).

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Question 2

Soit \(U\) un nombre pris au hasard dans \([0,1]\) tel que \[ \forall 0 \leq a \leq b \leq 1 \, , \quad \mbox{P} ( U \in [a,b)) = b-a . \]

• Pour tout \(0 \leq s \leq t < \infty\), calculer la probabilité P\((\ln(1/U) \in [s,t))\).

• En déduire une manière d’obtenir un nombre au hasard ayant les mêmes propriétés que \(X\).

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Question 3

Le langage R dispose de nombreux generateurs aléatoires, dont un générateur de variables aléatoires uniformément réparties sur (0,1).

• En utilisant le générateur aléatoire de loi uniforme runif, effectuer \(n = 1000000\) simulations de la variable \(X\).

n = 1000000
x <- -log(runif(n))

• Calculer la fréquence de l’événement \(X > 1\) et comparer cette valeur empirique à la valeur théorique calculée dans la question 1. Idem pour la probabilité de l’événement \((\sin(X)>0)\).

mean(x > 1)

## [1] 0.368104

exp(-1)

## [1] 0.3678794

mean(sin(x) > 0)

## [1] 0.958806