Questions de cours

Exercice 1

On considère une suite \((X_n)\) de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\). Soit \(a\) un nombre tel que \(0<a<1\). On définit la variable aléatoire \(N(a)\) de sorte que

\[ N(a) = \min \{ n \geq 1 \, , \, X_1 +\cdots + X_n > a \} . \]

Question 1

Soit \(x \in (0,1)\).

  • En discutant selon les valeurs \(x > a\) ou \(x \leq a\), donner une expression de l’espérance conditionnelle E\([N(a)|X_1 = x]\) ne laissant plus apparaître le conditionnement.
Question 2
  • Déduire de la question précédente que, pour tout \(a \in (0,1)\), nous avons

\[ {\rm E}[N(a)] = 1 + \int_0^a E[N(x)] dx. \]

Question 3
  • Résoudre l’équation précédente pour trouver l’expression de E\([N(a)]\).
Exercice 2

On considère une suite \((U_n)_{n\geq 1}\) de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\), et on pose \(U_0 = x\), \((0<x<1)\). On dit qu’il y a record au temps \(m\) si la variable \(U_m\) est plus grande que toutes les variables précédentes. On note \(N_n\) le nombre de records au temps \(n \geq 1\). On pose ensuite \[ \forall n \geq 1, \quad f_n(x) = E[N_n] \]

Question 1

  • Calculer \(f_1(x)\).

  • Donner une formule reliant l’espérance conditionnelle \(E[N_{n+1}|U_1 = u]\) à la fonction \(f_n(x)\).

Question 2
  • Montrer que

\[ 1 - f_{n+1}(x) = x ( 1 - f_n (x)) - \int_x^1 f_n(u) du . \]

Question 3

On suppose que \(f_n(x)\) est dérivable et on appelle \(g_n(x)\) sa dérivée.

  • Trouver l’équation satisfaite par \(g_n(x)\) puis la résoudre.

  • En déduire que

\[ f_n (x) = h_n - \left( x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n} \right) \]

où \(h_n = \sum_{i = 1}^n 1/i\).