Questions de cours

Exercice 1

Dans un jeu, on commence un tirage à pile ou face. Si on obtient pile, le gain, noté \(X\), est une variable aléatoire \(U\) de loi uniforme sur (0,1), indépendante du tirage précédent. Sinon, le gain est \(2U\). La probabilité d’obtenir pile est \(p = 2/3\). Pour calibrer le prix du ticket, on souhaite calculer le gain moyen et le gain médian d’un joueur donné.

Question 1

  • Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).

  • Justifier que la loi de \(X\) admet une densité de probabilité et décrire cette densité (sans calcul).

Question 2

  • Calculer la valeur mediane de la variable \(X\).

  • Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Question 3

Soit \(Y\) une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre \(q = 1 - p\), indépendante de \(U\).

  • Montrer que \(X\) peut se représenter de la manière suivante

\[ X = (1 + Y)U. \]

  • En déduire la valeur de l’espérance de \(X\).

  • Vérifier les résultats par simulation d’un grand nombre, \(n\), de joueurs.

n = 1000000 
y <- rbinom(n, 1, p = 1/3)
x <- (1+y)*runif(n)
median(x)
## [1] 0.599924
mean(x)
## [1] 0.6665573

Exercice 2

Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle \((0,1)\). L’objectif de cet exercice est de déterminer la fonction de répartition, la densité, l’espérance et la variance de la variable \(X\) définie par

\[ X = \sqrt{U}.\]

Question 1

  • Calculer la fonction de répartition de \(X\) et en déduire la densité de la loi.

  • En utilisant la densité de \(X\), calculer l’espérance de \(X\).

  • Vérifier le résultat à l’aide d’une simulation

mean(sqrt(runif(1000000)))
## [1] 0.6667738
Question 2

  • En utilisant la densité de la loi uniforme et le théorème de transfert, calculer l’espérance de \(X\).

  • En utilisant le fait que \(X\) est une variable aléatoire positive, calculer l’espérance de \(X\) d’une nouvelle manière.

Question 3

  • Déterminer la variance de \(X\) sans calcul intégral.

  • Vérifier le résultat à l’aide d’une simulation.

var(sqrt(runif(1000000)))
## [1] 0.05553382

Exercice 3

Soient \(X_1, \dots, X_n\), \(n\) variables aléatoires de loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\). L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire

\[ X = \min (X_1, \dots, X_n ) .\]

Question 1
  • Calculer la probabilité que la variable aléatoire \(X\) soit supérieure à \(t\), pour tout \(t\) réel positif.
Question 2

  • En déduire la fonction de répartition, puis la densité de la loi de \(X\). Reconnaître cette loi.

  • En déduire l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Exercice 4

Soient \(U_1, U_2, \dots, U_N\) des variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\) et \(N\) une variable aléatoire de loi géométrique de paramàtre \(p\) indépendante de la suite \((U_i)\). On pose

\[ X = \max_{1\leq i \leq N} U_i \; .\]

Question 1
  • Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Question 2
  • Calculer l’espérance de \(X\).
Question 3
  • Vérifier le résultat par une simulation pour \(p = 1/3\).
n <- 100000
# La loi géometrique est décalée  
x <- sapply(1 + rgeom(n, p = 1/3), FUN = function(i) max(runif(i))) # ?sapply : très utile
mean(x)
## [1] 0.675929