Questions de cours

Exercice 1

On souhaite calculer la variance de la loi normale, \(N(0,1)\), et d’autres moments d’ordre supérieur.

Question 1

Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \(N(0,1)\).

\[ \phi(t) = \exp( \frac{t^2}2 ) \, , \quad t \in \mathbb{R}. \]

Question 2
  • Dériver la fonction \(\phi(t)\) deux fois en \(t = 0\). En déduire la variance de la loi normale

\[ {\rm Var}[X] = 1. \]

Question 3

  • Utiliser le développement en série de la fonction \(\phi(t)\) en \(t = 0\) pour calculer \({\rm E}[X^4]\).

  • Vérifier ce résultat à l’aide de simulations.

x <- rnorm(1000000)
mean(x^4)
## [1] 2.993564

Exercice 2

Soient \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\). On pose

\[ X = \mathbb{1}_{(U < 1/3)} V + \mathbb{1}_{(U \geq 2/3)} (1 + V). \]

Question 1
  • Calculer E\([X]\) et Var\([X]\).
Question 2
  • Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Question 3
  • Prouver que les commandes suivantes simulent correctement la loi de \(X\).
n <- 100000
N <- sample(1:3, n, replace = T)
x <- (N == 3) + (N != 1)*runif(n)
  • Vérifier les calculs de l’espérance et de la variance.
mean(x)
## [1] 0.6691272
var(x)
## [1] 0.4456573

Exercice 3

Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \((0,1)\). On pose \(X = e^U\).

Question 1

  • Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\) vérifie \[ \forall t \in (1, e) , \quad F(t) = \ln(t) \, . \]

  • Décrire cette fonction pour tout \(t \in \mathbb{R}\).

  • Montrer que la loi de la variable \(X\) admet une densité et donner la densité de cette loi.

  • Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(X\).

Question 2

Soit \(s \in \mathbb{R}\), on pose \[ \phi(s) = {\rm E}[ e^{s U}] . \]

  • Calculer \(\phi(s)\), puis calculer la dérivée de cette fonction au point \(s = \alpha\), \(\alpha >0\).

  • Déduire de la question précédente la valeur de l’espérance de la variable aléatoire suivante

\[ Y = X^{\alpha} \ln(X).\]

Exercice 4

On considère une variable aléatoire de loi de densité \[ \forall z \in \mathbb{R}, \qquad f(z) = z \mathbb{1}_{(0,1)}(z) + \frac12 e^{1-z} \mathbb{1}_{(1,\infty)}(z) \]

Question 1
  • Montrer que la fonction de répartition de la loi de densité \(f(z)\) vérifie

\[ \forall t \geq 0, \quad F(t) = \frac12 \min(1,t^2) + \frac12 \max(0, 1 - e^{1 - t}) \,. \]

  • Soit \(X\) une variable al?atoire de loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer la fonction de répartition, \(F_1(t)\), de la variable aléatoire \(Y_1 = \exp(-X/2)\).
Question 2
  • Montrer qu’il existe \(p\in (0,1)\) tel que

\[ \forall t \in \mathbb{R}, \qquad F(t) = pF_1(t) + (1 -p)F_2(t) \]

où \(F_2(t)\) est la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y_2 = 1 + X\).

Question 3

Soit \(p\) la valeur trouvée précédemment. On considère la variable aléatoire \(Y\) définie par

\[ Y = V\sqrt{U} + (1 - V)(1+X) \]

où \(U\) est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1), \(V\) est une variable aléatoire de Bernoulli de param?tre \(p\) et \(U, V, X\) sont mutuellement indépendantes.

  • Calculer l’espérance des variables aléatoires \(Y\) et \(Y^2\).

  • Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y\).

Question 4

On dispose d’un générateur aléatoire retournant uniquement des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1.

  • Déduire des questions précédentes un algorithme de simulation de la loi de densité \(f(z)\).

On notera rexp(n,rate = 1) le générateur aléatoire de loi exponentielle.