Questions de cours

Exercice 1

Soient \((U_n)\) et \((V_n)\) deux suites de variables aléatoires de loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\). On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes dans leur ensemble. On pose

\[ \forall n \geq 1\; , \quad \left\{ \begin{array}{ccl} X_n & = & 1 \quad \mbox{si } U_n^2 + V_n^2 \leq 1 \\ & & 0 \quad \mbox{sinon} \end{array} \right. \]

et \(Z_n = 4 ( X_1 + \dots + X_n )/ n\).

n <- 1000
u <- runif(n)
v <- runif(n)
plot(u, v, col = 1 +  (u^2 + v^2 > 1), pch = 19)

Question 1

  • Déterminer la loi de la variable \(X_n\).

  • Calculer la variance de \(Z_n\) et montrer que la suite \((Z_n)\) converge vers \(\pi\).

Question 2

Soit \(\alpha \in (0,1)\) et \(\epsilon >0\).

  • A l’aide de l’inégalité de Chebishev, déterminer un entier \(n_0\) tel que

\[ \forall n \geq n_0 \; , \quad \mbox{P}(|Z_n - \pi| > \epsilon) \leq \alpha \; .\]

  • Ecrire un algorithme qui retourne une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-4}\) près, avec une probabilité supérieure à \(0.95\).
n <- 100000 #n'est pas la valeur demandée
u <- runif(n)
v <- runif(n)
4*mean(u^2 + v^2 < 1)
## [1] 3.14052
Question 3

On multiplie la variable \(Z_n\) par \(\sqrt{n}\).

  • Calculer la variance de la variable \(\sqrt{n}(Z_n - \pi)\). Cette variance converge-t-elle vers 0 ? Vers une constante ?

  • Quelle loi connue fournit une bonne approximation de la loi de \(\sqrt{n} (Z_n - \pi)\) ?

rzn <- function(m=1,n=1000){
  zn <- NULL
  for (i in 1:m){
    u <- runif(n)
    v <- runif(n)
    zn <- c(zn, 4*mean(u^2 + v^2 < 1) )
  }
  return(zn)
}
z  <- sqrt(1000)*(rzn(10000) - pi)/sqrt(pi*(4-pi))
hist(z, prob = TRUE, col = "orange")

Exercice 2

On considère une suite \((U_n)\) de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur \((0,1)\) et la fonction \[ \forall u \in (0,1), \quad \varphi (u) = \sqrt{(1 - u) u^3} . \]

Question 1

Pour tout \(n\geq 1\), on pose \[ Y_n = \frac1n \sum_{i = 1}^n \varphi (U_i). \]

  • Montrer que la suite \(Y_n\) converge, au sens de la loi des grands nombres, vers la limite \({\cal I}\) définie ci-dessous

\[ {\cal I} = \int_0^1 \varphi (u) du \, . \]

On admettra que \({\cal I} = \pi / 16\).

Question 2

  • Calculer la variance de la variable aléatoire \(Y_n\).

  • Soit \(\epsilon = 10^{-3}\). A l’aide du théorème de Chebyshev, donner une estimation du rang \(n\) à partir duquel on peut considérer que

\[ {\rm P} ( | Y_n - {\cal I}| < \epsilon ) \geq 0.95 \, . \]

Question 3

On considère la loi de densité \(f(v)\) définie sur l’intervalle \((0,1)\) de la manière suivante \[ \forall v \in (0,1), \quad f(v) = 6 v(1 - v) . \]

Soit \((V_n)\) une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi de densité \(f(v)\). Pour tout \(n\geq 1\), on pose \[ Z_n = \frac1n \sum_{i = 1}^n \frac{ \varphi (V_i) }{f(V_i)}. \]

  • Montrer que la suite \(Z_n\) converge vers \({\cal I}\).

  • Comparer la variance de la variable aléatoire \(Z_n\) à celle de la variable \(Y_n\).

Question 4

  • Proposer deux algorithmes de calcul de l’intégrale \({\cal I}\) s’appuyant sur les questions précédentes.

  • Lequel vous semble le plus précis des deux pour \(n\) appels du générateur aléatoire ? Justifier.

phi <- function(u){ sqrt((1-u)*u^3)}
# Algorithme 1
n <- 1000000
mean(y <- phi(runif(n)))
## [1] 0.1963322
pi/16
## [1] 0.1963495
var(y)
## [1] 0.01144177
# Algorithme 2
n <- 1000000
f <- function(v){dbeta(v,2,2)}
u <- rbeta(n, 2, 2)
mean(z <- phi(u)/f(u))
## [1] 0.1963385
pi/16
## [1] 0.1963495
var(z)
## [1] 0.01699085
Question 5

Soit \(1\leq \alpha \leq 3\). On considère désormais que \(f(v)\) appartient à la famille de densités \(f_{\alpha}(v)\) définies sur l’intervalle \((0,1)\) de la manière suivante \[ \forall v \in (0,1), \quad f_{\alpha}(v) = c_{\alpha} v^{\alpha} (1 - v) . \] (loi beta(\(\alpha\)+1,2))

  • Montrer (ou admettre) que la constante \(c_{\alpha}\) est égale à \((\alpha + 2)(\alpha +1)\).

  • A quel choix de \(\alpha\) correspond l’algorithme de calcul de \({\cal I}\) le plus précis ?

  • La précision est-elle supérieure à celle de l’algorithme s’appuyant sur la question 1) ?